основной форум
Архив сообщений 2004-2006 года

Алгоритмы, методы, исходники


Библиотека >> Поиск и обсуждение

Страницы: 1
RChl
новичок


Рег.: 07/05/06
Сообщений: 4
Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики.
      #12045 - 09/06/06 04:43 AM

Ищется в электронном виде книга: ЕрмаковС.М., Некруткин В.В., С и п и н А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 208 с.

(Спасибо!)

Метод статистического моделирования широко используется при решении задач математической физики. Авторы доводят строгое изложение рассматриваемых вопросов до эффективных вычислительных методов и алгоритмов. Особое внимание уделяется задачам, так или иначе связанным с физикой переноса. Их решение получается с помощью моделирования процессов диффузии и марковских блужданий. Для специалистов в области теории вероятностей, вычислительной математики и математической физики, а также для инженеров, использующих в своей работе статистическое моделирование. Рецензент доктор физ.-мат. наук И.Н. ЧЕНЦОВ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предметом книги являются, как правило, скачкообразные марковские процессы, связанные с некоторыми классическими уравнениями математической физики. Рассматриваются методы конструирования и моделирования таких процессов, изучаются их свойства и свойства функционалов специального вида на их траекториях. Математические ожидания упомянутых функционалов и являются решениями соответствующих уравнений.
Что касается самих уравнений, то рассматриваются краевые задачи для линейных уравнений в частных производных второго порядка и простейшие уравнения с полиномиальной нелинейностью, которые несомненно можно считать классическими. Особое место уделено нелинейным кинетическим уравнениям (уравнению Больцмана и ряду его модификаций). Авторы не затрагивали задач линейной теории переноса излучения, где метод Монте-Карло (и, следовательно, конструирование соответствующих случайных процессов) получил значительное развитие. В этой области Г.И. Марчуком и его учениками решены важные теоретические и прикладные задачи, обзор которых можно найти в монографии [51]. Безусловно, большинство результатов, излагаемых в данной книге, получено под влиянием или в качестве непосредственного продолжения упомянутых исследований в области линейной теории переноса, хотя основное внимание уделяется теоретико-вероятностному аспекту проблемы. Из сказанного ясно, что книга в значительной степени ориентирована на конструирование и исследование алгоритмов метода Монте-Карло для решения ряда классических задач математической физики. Этим обстоятельством и определяется выбор скачкообразных марковских процессов, моделирование которых просто реализуемо с помощью ЭВМ.
Можно надеяться, однако, что излагаемые в книге результаты будут полезны и в других областях. Одной из них является конструирование байесовских критериев качества в теории планирования эксперимента. Часто априорная информация в таких задачах задается в виде уравнений, и представляется важным уметь конструировать достаточно простым образом распределения, удовлетворяющие этим уравнениям.
На отбор материала оказали несомненное влияние личные научные интересы авторов, хотя в какой-то мере были затронуты почти все известные авторам результаты относительно связей скачкообразных процессов с уравнениями математической физики. Разумеется, претендовать на полноту в изложении этих вопросов было бы крайне неосторожно.
Несколько слов о содержании книги.
Гл. 1 книги носит в некотором смысле вводный характер. В ней сделана попытка классификации марковских цепей и процессов, просто моделируемых на ЭВМ, с точки зрения их применимости к решению различных уравнений. Естественно, эта классификация не претендует на полноту ввиду общей неразработанности проблемы. Кроме этого, мы, как правило, строим лишь простейшие оценки типа "оценок по поглощению", не оста-навливаясь на интересных, но выходящих за рамки книги вопросах построения классов оценок на траекториях фиксированной марковской цепи.
Главы 2-4 посвящены решению некоторых классов уравнений. В гл. 2 рассматривается первая краевая задача для произвольного эллиптического оператора с достаточно гладкими коэффициентами. В гл. 3 и 4 строятся несмешенные оценки решения нелинейных интегральных уравнений. В гл. 3 рассматриваются уравнения типа Ляпунова-Шмидта, тесно связанные с ветвящимися марковскими цепями, а в гл. 4 - нелинейные эволюционные уравнения в мерах, интересные в связи с некоторыми задачами газовой динамики. Для решения этих эволюционных уравнений используются специальные процессы - так называемые марковские процессы с простейшим взаимодействием ("столкновительные процессы"), в некотором смысле двойственные к ветвящимся.
В гл. 5 собраны различные конкретные задачи, так или иначе связанные с оператором Лапласа. Каждая из этих задач имеет самостоятельный интерес, а все вместе они (как, впрочем, и задачи глав 2-4} могут служить иллюстрацией идей гл. 1.
Рассматриваемые случайные процессы тесно связаны с определенными итерационными процессами решения соответствующих уравнений. С этим связан, кстати, тот факт, что мы рассматриваем лишь линейные и квазилинейные уравнения, итеративное решение которых может быть представлено так называемым рядом Неймана. Тем не менее далеко не всегда можно сопоставить случайный процесс сходящемуся итерационному процессу. Для представления решения в виде интеграла по траекториям необходимо выполнение дополнительных условий типа сходимости итераций "мажорирующего уравнения".
Это сужает область применимости метода Монте-Карло. Оказывается, однако, что введение интегрирования в некотором обобщенном смысле, как правило, позволяет соотносить случайный процесс сходящимся итерационным процессам. Круг вопросов, связанный с обобщенным интегрированием, рассмотрен в гл. 6 предлагаемой книги.
Нумерация параграфов, формул и принятые обозначения в книге в достаточной мере стандартны. Параграфы имеют двойную нумерацию, где первая цифра совпадает с номером главы. Для формул принята тройная нумерация, в которой первые две цифры совпадают с номером соответствующего параграфа. Сокращения, используемые в книге, расшифрованы в приведенном списке сокращений.
Авторы признательны А.З. Веселовской, В. Вагнеру и П.Г. Скворцову, участвовавшим в обсуждении рукописи книги.
Авторы надеются, что книга будет полезна специалистам в области математической физики и теории случайных процессов, а также широкому кругу исследователей, использующих метод Монте-Карло и теорию планирования эксперимента в качестве аппарата исследования.
СМ, Ермаков
В.В. Некруткин
А.С. Сипин


Предисловие.......................................... 5
Список обозначений и сокращений............................ у
Введение..........................,................. 9
Гпада 1
Марковские процессы и интегральные уравнения................... 15
 1.1. Поглощающие марковские цели и линейные интегральные уравнения 15  1.2. Марковские пр9цессы с непрерывным временем и линейные эволюционные уравнения............................, . . . . 22
 1.3. Сходящиеся марковские цепи и некоторые краевые задачи........ 26
 1.4. Марковские цепи и нелинейные интегральные уравнения.......... 41
Глава 2
Первая краевая задача для уравнения эллиптического типа.........*. . . . 50
 2.1. Обозначения и постановка задачи........................ 50
2.2. Формула Грина и теорема о среднем значении................ . 51
2.3. Построение случайного процесса и алгоритма решения задачи....... 58
 2.4. Методы моделирования цепи Маркова..................... 64
 2.5. Оценка дисперсии случайной величины $т .................. 69
Глава 3
Уравнения с полиномиальной нелинейностью...................... 71
 3.1. Предварительные примеры............................ 71
 3.2. Представление решений интегральных уравнений с полиномиальной
нелинейностью.....................'.............. 74
 3.3. Задание вероятностных мер и простейшие оценки.............. 79
 3.4. Вероятностное решение нелинейных уравнений относительно мер 83
Глава 4
Вероятностное решение некоторых кинетических уравнений............ 92
 4.1. Движение частиц с детерминированными траекториями.......... 92
 4.2. Вычислительные аспекты моделирования столкновительного процесса 98
 4.3. Случайные траектории частиц. Построение основного процесса...... 100
и 4.4. Стол к нови тельный процесс............................ 104
 4.5. Вспомогательные леммы............................. 107
4.6. Леммы о преобразованиях интегральных уравнений............ 110
 4.7. Единственность решения (X, Т, Н) -уравнения................ 114
 4.8. Вероятностное решение кинетических уравнений.............. 116
 4.9. Оценка вычислительной работы......................... 118
 4.10. О граничных условиях для кинетических уравнений............ 120
Различные краевые задачи, связанные с оператором Лапласа............ 123
 5.1. Параболические средние и решение смешанной задачи для уравнения
теплопроводности.................................. 123
 5.2. Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа............... 128
 5.3. Решение задачи Неймана.............................. 132
 5.4. Блуждание по сферам с ветвлением и задача Дирихле для уравнения
Ди = и2........................................ 141
 5.5. Специальный метод решения задачи Дирихле дпя уравнения Гельм-
гольца......................................... 150
 5.6. Вероятностное решение волнового уравнения в случае бесконечно
дифференцируемого решения.......................... 153
 5.7. Другой подход к решению волнового уравнения............... 157
И 5.8. Задача Коши для уравнения Шрё'дингера.................... 165
 5.9. Особенности решения различных краевых задач, связанных с оператором Лапласа, методом Монте-Карло....................... 169
Глава в
Интегралы в смысле обобщенного главного значения и связанные с ними случайные процессы........,............................... 173
 6.1. Случайные процессы, связанные с линейными уравнениями........ 174
 6.2. Нелинейные уравнения............................... 184
 6.3. О представлении решения нелинейных уравнений в виде обобщенного
главного значения интеграла........................... 191
 6.4. Ободной задаче вычислительной математики................. 197
Библиографические замечания............................... 200
Литература......................................... . . 202


Операции над сообщением Печать сообщения   Добавить тему в напоминания!   Известить модератора  
Страницы: 1



Дополнительная информация
0 зарегистрированных и 113 анонимных пользователей просматривают этот форум.

Модератор:  Илья Кантор, Sergeyev 

Распечатать тему

Права
      Вы не можете создавать новые темы
      Вы не можете отвечать на сообщения
      HTML выключен
      UBBCode включен

Рейтинг:
Просмотры темы: 10673

Rate this topic

Переход в